Soal dan pembahasan

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar

1. Jika a > 0, b > 0 dan a ≠ b maka
( )( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 2 2
a b ab a b
a b a b
− − − −
− − −
+ −
+ −
=
A .
2 ( )
1
a + b
−
C.
2 (a b)
ab
+
−
E. ab
B. (a+b) 2 D.
a b
ab
+
Jawab:
( )( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 2 2
a b ab a b
a b a b
− − − −
− − −
+ −
+ −
=
)( )
1 1
(
)
1 1
)(
1
(
2 2
a
b
b
a
a b
a b a b
+ −
−
+
=
)( )
1 1
(
)
1 1
)(
1 1
)(
1
(
a
b
b
a
a b
a b a b a b
+ −
− +
+
=
( )
)
1 1
)(
1
(
a
b
b
a
a b a b
−
−
+
=
( )
)
( )
1
) (
( )
1
(
2 2
ab
a b
a a b b a b
−
+
−
+
= )
( )
(
ab a b
b a
+
−
. ( ) 2 2 a b
ab
−
=
( )( ) 2 2 a b a b
b a
+ −
−
=
( )( )( )
( )
a b a b a b
a b
+ − +
− −
=
2 ( )
1
a + b
−
Jawabannya adalah A
2. Jika p = (x 2
3
+ x 2
1
) (x 3
1
- x
−
3
1
) dan q = (x 2
1
+ x
−
2
1
) (x- x 3
1
), maka
q
p
=….
A . 3 x C. x E. x 3 2 x
B. 3 2 x D. x 3 x
Jawab:
q
p
=
( )( )
( )( )
3
1
2
1
2
1
3
1
3
1
2
1
2
3
x x x x
x x x x
+ −
+ −
−
−
=
( ) ( )
( )( )
3
1
3
1
3
2
2
1
2
1
3
1
3
1
2
1
2
1
− −
− −
+ −
+ −
x x x x x
x x x x x
www.belajar-matematika.com 2
=
3
2
x
x
= x 3
2
3
3−
= x 3
1
= 3 x
Jawabannya adalah A
3. Grafik y = x
x
2
3 − terletak di atas garis y =x untuk x yang memenuhi ….
A. x < -1 C. x < -1 atau x > 1 E. -1 < x < 0 atau x > 1
B. -1 < x < 1 D. X < -1 atau 0 < x < 1
Jawab:
y1 = x
x
2
3 − ; y 2 = x
y1 terletak di atas y 2 maka y1 > y 2
x
x
2
3 − > x
⇔ x x
x
− 2 −
3
> 0 ⇔ x
x
3
3 − > 0
⇔
x
x2 3 − 3
> 0 ⇔
x
3(1 x ) − 2
> 0
⇔
x
3(1− x)(1+ x)
> 0
pembuat nol:
x = 1 atau x = -1 (x = 0 sebagai batas)
+++++ - - ++ --
• • • • •
-1 0 1
nilai > 0 (+++) terletak pada daerah x < -1 atau 0< x <1
Jawabannya adalah D
4. Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 3x + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya x1 +
1
1
x
dan x 2 +
2
1
x
adalah ….
A. x 2 + 9x - 6 = 0 C x 2 - 6x + 9 = 0 E. x 2 - 6x - 9 = 0
B. x 2 - 6x - 6 = 0 D. x 2 + 6x + 9 = 0
www.belajar-matematika.com 3
Jawab:
x 2 - 3x + 1 = 0
x1 + x 2 =
a
b − =
1
− 3
− = 3 ; x1 . x 2 =
a
c
= 1
Rumus Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x 2 adalah x2 – (x1 + x 2 )x + x1 x 2 = 0
atau x2 – (akar 1 + akar 2)x + akar 1. akar 2 = 0
persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 +
1
1
x
dan x 2 +
2
1
x
akar 1 + akar 2 = x1 +
1
1
x
+ x 2 +
2
1
x
= (x1 + x 2 ) + (
1
1
x
+
2
1
x
) = (x1 + x 2 )+
1 2
2 1
x x
x + x
= 3 +
1
3
= 6
akar1 . akar 2 = (x1 +
1
1
x
) ( x 2 +
2
1
x
) = x1 . x 2 +
2
1
x
x
+
1
2
x
x
+
1 2
1
x x
= x1 . x 2 +
2 1
2
2
2
1
x x
x + x
+
1 2
1
x x
= x1 . x 2 +
2 1
1 2
2
1 2 ( ) 2
x x
x + x − x x
+
1 2
1
x x
= 1 +
1
3 2.1 2 −
+ 1 = 1 + 7 + 1 = 9
sehingga persamaan kuadratnya adalah:
x2 – (akar 1 + akar 2)x + akar 1. akar 2 = 0
= x2 – 6x + 9 = 0
Jawabannya adalah C
5. Jika garis h : y = ax + 1 dan g : y = 2x – 1 berpotongan tegak lurus di titik A, maka koordinat A
adalah….
A. (1, 1) C. (
5
4
,
5
3
) E. (-1, -3)
B. (
2
1
, 0) D. (
4
1
1 ,
2
1
1 )
www.belajar-matematika.com 4
Jawab:
gradien garis h = mh = a
gradien garis g = mg = 2
berpotongan ⊥ di titik A maka mh . mg = -1
a. 2 = -1
a =
2
1 −
titik potongnya :
h = g
2
1 − x + 1 = 2x – 1
2
5 − x = -2
x =
5
2.2
=
5
4
y = 2x – 1
= 2 .
5
4
- 1 =
5
8 − 5
=
5
3
titik A (
5
4
,
5
3
)
Jawabannya adalah C
6. Garis g melalui titik (8, 28) dan memotong parabol y = 3x 2 + x -10 di titik A dan B. Jika A (2, 4)
dan B (x, y), maka x + y = ….
A. -6 C. -8 E. - 10
B. -7 D. -9
Jawab:
Garis g melalui titik (8, 28) dan A (2, 4)
persamaan garisnya:
2 1
1
2 1
1
x x
x x
y y
y y
−
−
=
−
−
2 8
8
4 28
28
−
−
=
−
y − x
⇔ -6 (y-28) = -24 (x - 8)
⇔ y – 28 = 4 (x - 8)
⇔ y – 28 = 4x - 32
⇔ y = 4x – 4
www.belajar-matematika.com 5
titik potong garis g dan parabol :
4x – 4 = 3x 2 + x -10
3x 2 +x – 10 – 4x + 4 = 0
3x 2 - 3x – 6 = 0
x 2 - x – 2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x = 2 dan x = -1
untuk x = 2 y = 4x – 4 = 4.2 – 4 = 4
titik potongnya (2,4)
untuk x = -1 y = 4 . -1 – 4 = -4 – 4 = -8
titik potongnya (-1, -8) titik B dimana x = -1 dan y = -8
maka x + y = - 1 + (-8) = -9
Jawabannya adalah D
7. Solusi pertaksamaan 2x 2 + 3x – 9 ≤ 0 yang bukan solusi dari pertaksamaan 2x 2 - x – 10 ≥ 0
adalah….
A. -3 < x < -2 C. 1
2
1
≤ x < 2
2
1
E. x ≤ −2 atau x ≥ 2
2
1
B. -3 ≤ x ≤ 1
2
1
D. -2 < x ≤ 1
2
1
Jawab:
2x 2 + 3x – 9 ≤ 0
( 2x - 3 ) ( x + 3 ) ≤ 0
pembuat nol : x =
2
3
atau x = - 3
+++++ - - - - - - - - - ++++
• • •
-3 3/2
HP={ -3 ≤ x ≤
2
3
}
2x 2 - x – 10 ≥ 0
( 2x - 5 ) ( x + 2 ) ≥ 0
www.belajar-matematika.com 6
pembuat nol : x =
2
5
atau x = - 2
+++++ - - - - - - - - - ++++
• • •
-2 5/2
HP= { x ≤ -2 atau x ≥
2
5
}
Solusi pertaksamaan 2x 2 + 3x – 9 ≤ 0 yang bukan solusi dari pertaksamaan 2x 2 - x – 10 ≥ 0
terlihat pada garis bilangan .
+++++ - - - - - - - - - - ++++ +++++ 2x 2 + 3x – 9 ≤ 0 bertanda -----
+ + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + 2x 2 - x – 10 ≥ 0 bertanda + + +
• • • •
-3 -2 3/2 5/2
HP = { -2 < x ≤
2
3
}
Jawabannya adalah D
8. Grafik y = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 7 turun untuk x yang memenuhi….
A. x > 2 C. -3 < x < -1 E. x < -3 atau x > 1
B. -1 < x < 2 D. x < -1 atau x >2
Jawab:
grafik turun apabila y ' < 0
6x 2 - 6x – 12 < 0
⇔ x 2 - x – 2 < 0
( x – 2 ) ( x + 1 ) < 0
pembuat nol adalah x = 2 atau x = -1
+++++ - - - - - - -- ++++
• •
-1 2
HP={ - 1 < x < 2 }
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 7
9. Jika f (x) = sin 2 3x, maka
p
f x p f x
p 2
( 2 ) ( )
0
lim + −
→
A. 2 cos 3x C. 6 sin 2 x E. 6 cos 2 x
B. 2 sin 3x D. 6 sin 3x cos 3x
Jawab:
Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dengan y’ =
dx
dy
= f ' (x) =
h →0
Lim
h
f (x + h) − f (x)
identik dengan
p
f x p f x
p 2
( 2 ) ( )
0
lim + −
→
f ' (x)
f (x) = sin 2 3x f ' (x) = 2 sin 3x . 3 . cos 3x
= 6 sin 3x cos 3x
Jawabannya adalah D
10.
1
tan(1 )
1
lim
3 −
−
→ x
x
x
= ….
A.
3
1
C. 1 E.
2
1
B. -
3
1
D. -1
Jawab:
1
tan(1 )
1
lim
3 −
−
→ x
x
x
=
0
0
bentuk tak tentu, dapat dipecahkan dengan menggunakan teorema
L’Hospital
1
tan(1 )
1
lim
3 −
−
→ x
x
x
=
2
2
3
sec (1 ).( 1)
1
lim
x
x
x
− −
→
=
2
2
3
cos (1 )
1
1
lim
x
x
x
−
−
→
=
2
2
3
cos 0
1
x
−
=
2
2
3.1
1
1 −
=
3
1 −
Jawabannya adalah B
11.
7
( 7)
7
lim
−
−
→ x
x x
x
=
A. 14 C. 2 7 E.
2
1
7
B. 7 D. 7
www.belajar-matematika.com 8
Jawab:
7
( 7)
7
lim
−
−
→ x
x x
x
=
7
( 7)
7
lim
−
−
→ x
x x
x 7
7
+
+
x
x
=
7
( 7)( 7)
7
lim
−
+ −
→ x
x x x
x
= ( 7)
7
lim
+
→
x x
x
= 7( 7 + 7) = 7(2 7) = 2 . 7 = 14
Jawabannya adalah A
12. Jika tan x =
3
2 − , maka
x x
x x
2cos 3sin
5sin 6cos
−
+
=
A. -1
6
1
C.
3
1
E. 1
6
1
B. -
3
1
D.
3
2
Jawab:
Agar
x x
x x
2cos 3sin
5sin 6cos
−
+
berhubungan dengan tan x =
3
2 − , bagi pembilang dan penyebutnya
dengan cos x
x x
x x
2cos 3sin
5sin 6cos
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
sin
3
cos
cos
2
cos
cos
6
cos
sin
5
−
+
=
x
x
2 3tan
5 tan 6
−
+
=
)
3
2
2 3(
) 6
3
2
5(
− −
− +
=
2 2
6
3
10
+
− +
=
2 2
3
18 10
+
−
=
4
3
8
=
3
8
.
4
1
=
3
2
Jawabannya adalah D
13. Jika sudut lancip α memenuhi sin α =
3
1
3 , maka tan ( π
2
1
-α )+ 3 cosα = ….
A. 3 2 - 3 C. 6 + 2 E. 3 + 2
B. 3 2 + 3 D. 6 - 2
Jawab:
3 3 sin α =
3
3
=
r
y
x = 2 2 r − y = 2 2 3 − ( 3) = 6
cosα =
r
x
=
3
6
; tan α =
x
y
=
6
3
6
www.belajar-matematika.com 9
tan ( π
2
1
-α )+ 3 cosα = cotanα + 3 cosα ; tan ( π
2
1
- θ ) = cotan θ
=
tanα
1
+ 3 cosα
=
6
3
1
+ 3 .
3
6
=
3
6
+ 6 =
3
6
+ 6 = 2 + 6
Jawabannya adalah C
14. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya
25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah…
A. 10 meter dan 90 meter D. 40 meter dan 60 meter
B. 15 meter dan 85 meter E. 50 meter dan 5 meter
C. 25 meter dan 75 meter
Jawab:
t
25m
p
misal l = 25 m ; dicari p dan t = …?
4 (p+t+ 25) = 500
4p + 4t + 100 = 500
4p + 4t = 400
p + t = 100
p = 100 – t
V = p . l . t = (100 – t) . 25 . t
= 2500t – 25t 2
Volume maksimum bila V' = 0
V' = 2500 – 50 t = 0
2500 = 50 t
t = 50
p = 100 – t = 100 – 50 = 50
didapat p = 50 m dan t = 50 m
Jawabannya adalah E
www.belajar-matematika.com 10
15. Jika 4 log 6 = m + 1, maka 9 log 8 = …
A.
2 4
3
m +
C.
4 2
3
m −
E.
2 2
3
m +
B.
4 2
3
m +
D.
2 4
3
m −
Jawab:
4 log 6 = 4 log 2. 3 = 4 log 2 + 4 log 3 = 4 log 4 + 4 log 3
= 4 log 4 2
1
+ 4 log 3 =
2
1
4 log 4 + 4 log 3
=
2
1
+ 4 log 3 = m + 1 4 log 3 = m + 1 -
2
1
= m +
2
1
9 log 8 =
log 9
log8
4
4
=
4 2
4
log3
log 2.4
=
2 log3
log 2 log 4
4
4 +4
=
)
2
1
2(
1
2
1
+
+
m
=
)
2
1
2(
2
3
m +
=
)
2
1
4(
3
m +
=
4 2
3
m +
Jawabannya adalah B
16. Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 2n 2 + 3n, maka beda deretnya
adalah…
A. 2 C. 4 E. 6
B. 3 D. 5
Jawab:
deret aritmetika : U1 , U2 , U3 , …, Un
beda = U2 - U1 = Un - U n−1
Sn = U1+ U2 + U3 +…+Un
S1 = U1
= 2 . 1 + 3.1 = 5
S2 = U1+ U2 = 2. 2 2 + 3. 2 = 14
www.belajar-matematika.com 11
5 + U2 = 14
U2 = 14 – 5
= 9
beda = U2 - U1 = 9 – 5 = 4
Jawabannya adalah C
17. Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali.
Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah….
A. 150 C. 200 E. 300
B. 180 D. 270
Jawab:
pecatur 1 vs pecatur 2 = pecatur 2 vs pecatur 1 kombinasi
n = 25 ; r = 2
25
2 C =
2!(25 2)!
25!
−
=
2.23!
25.24.23!
= 25 . 12 = 300 pertandingan
Jawabannya adalah E
18. Pada deret geometri U1+ U2 + …, jika U1 = x −2 , U5 = x 2 , dan U9 = 64, maka U7 =…..
A. -16 C. 8 E. 32
B.
2
1
D. 16
Jawab:
U1 = x −2 = a
U5 = a.r 5−1 = x −2 . r 4 = x 2
r 4 =
2
2
− x
x
= x 2 . x 2 = x 4
r = x
U9 = 64 = ar 9−1= ar 8 = x −2 . x 8 = x 6 = 64
x = 2
U7 = ar 6 = x −2 . x 6 = x 4 = 2 4 = 16
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com 12
19. Jika x1 dan x 2 solusi persamaan 3 . 9 x + 91−x = 28, maka x1 + x 2 = …
A. -
2
1
C.
2
1
E. 1
2
1
B. 0 D. 1
Jawab:
3 . 9 x + 9 1−x = 28 kalikan dengan 9 x
3. 9 2x + 9 = 28. 9 x misal 9 x = y
3.y 2 + 9 = 28 y
3.y 2 - 28y + 9 = 0
(3y -1)( y – 9 ) = 0
3y = 1
y =
3
1
9 x =
3
1
x =
3
1
log 9 =
3 1 log3
2 −
= -
2
1
log3 3 = -
2
1
x1 ;
a k b
n
log = b
n
k a log
y = 9 9 x = 9
x = log9 9 = 1 x 2
maka x1 + x 2 = = -
2
1
+ 1 =
2
1
Jawabannya adalah C
20. Jika A =  


 


b x
a b
dan B =  


 


b x
bx a
, maka jumlah kuadrat semua akar persamaan det A = det B
adalah….
A. 2( )
2
a b
b
a − − 




C. 2( )
2
b a
b
a − − 




E. 2(b a)
a
b − −
B. 2( )
2
a b
a
b − − 




D. 2( )
2
b a
a
b − − 




Jawab:
det A = ax - b 2
det B = bx 2 - ab
det A = det B
www.belajar-matematika.com 13
ax - b 2 = bx 2 - ab
bx 2 - ax – ab + b 2 = 0
mempunyai akar x1 dan x 2
jumlah kuadrat semua akar persamaan det A = det B x1
2 + x 2
2
x1 + x 2 =
b
− a
− =
b
a
; x1 . x 2 =
b
ab b− + 2
= b – a
x1
2 + x 2
2 = (x1 + x 2 ) 2 - 2. x1 . x 2
= (
b
a
) 2 - 2(b – a)
Jawabannya adalah C
21. Jika A =  


 


1 3
1 2
, B =  


 


1 3
4 1
, dan matriks C memenuhi AC = B, maka det C = ….
A. 1 C. 9 E. 12
B. 6 D. 11
Jawab:
AC = B
C = A −1B
=
3 4
1
−
 


 


−
−
1 1
3 2
.  


 


1 3
4 1
= -  


 


−
−
1 1
3 2
.  


 


1 3
4 1
= -  


 


−
−
3 2
10 3
=  


 


−
−
3 2
10 3
det C = -10 . (-2) – 3 . 3 = 20 – 9 = 11
Jawabannya adalah D
22. Tabungan seseorang pada bulan ke n selalu dua kali tabungan pada bulan ke (n-1), n ≥ 2. Jika
tabungan awalnya Rp. 1 juta dan setelah satu tahun menjadi Rp. p juta, maka p memenuhi…..
A. 1000 < p < 2000 C. 3000 < p < 4000 E. 5000 < p < 6000
B. 2000 < p < 3000 D. 4000 < p < 5000
www.belajar-matematika.com 14
Jawab:
tabungan membentuk deret:
1 juta, 2 juta, 4 juta, 8 juta , …
deret tabungan membentuk deret geometri dengan r =
juta
juta
1
2
=
juta
juta
2
4
= 2
setelah setahun berarti bulan ke 13 = U13 = ..?
a = 1 juta
U13 = ar 13−1 = ar 12 = 1 juta . 212
p juta = 1 juta . 4096
p = 4096
berada pada daerah 4000 < p < 5000
Jawabannya adalah D
23. Jika y = log x dan x 2 + ax + ( 3 – a ) = 0, maka y bernilai real untuk a yang memenuhi….
A. a > 3 C. a < -6 E. - 6 < a < 3
B. a < 3 D. a > -6
Jawab:
y = log x x > 0
x 2 + ax + ( 3 – a ) = 0
agar y bernilai real maka :
1 . x1 + x 2 > 0
-a > 0
a < 0
2 . x1 . x 2 > 0
3 – a > 0
3 > a
a < 3
3 . D ≥ 0
a 2 - 4. 1 (3-a) ≥ 0
a 2 + 4a - 12 ≥ 0
(a + 6)(a- 2 ) ≥ 0
www.belajar-matematika.com 15
pembuat nol : a = -6 atau a = 2
+++++ - - - - - - - - - ++++
• • •
-6 2
HP= { a ≤ -6 atau a ≥ 2 }
1∩2 ∩3
irisan a < 0, a < 3, a ≤ -6 dan a ≥ 2
• • • • •
-6 0 2 3
terlihat bahwa yang memenuhi kriteria adalah a < -6
Jawabannya adalah C
24. Bilangan y log (x-1), y log (x + 1), y log (3x -1) merupakan tiga suku deret aritmetika yang
berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka x + y =…
A. 2 C. 4 E. 6
B. 3 D. 5
Jawab:
y log (x-1), y log (x + 1), y log (3x -1)
U1 U2 U3
beda = U2 - U1 = U3 - U2
2 U2 = U1 + U3
2 . y log (x + 1) = y log (x-1) + y log (3x -1)
y log (x + 1) 2 = y log (x-1). (3x -1)
(x + 1) 2 = (x-1). (3x -1)
x 2 + 2x + 1 = 3x 2 - 4x + 1
2x 2 - 6x = 0
x 2 - 3x = 0
x (x – 3) = 0
pembuat nol : x = 0 atau x = 3 ….(1)
www.belajar-matematika.com 16
syarat logaritma:
b a log > 0 :
x-1 > 0 x > 1 ….(2)
x + 1 > 0 x > -1 ….(3)
3x -1 > 0 3x > 1 x >
3
1
….(4)
(2)∩(3)∩(4) x > 1 ….(5)
dari (1) dan (5) x = 3
U1 + U2 + U3 = 6
y log (x-1) + y log (x + 1) + y log (3x -1) = 6
y log 2 + y log 4 + y log 8 = 6
y log 2 . 4 . 8 = 6
y log 2 . 2 2 . 23 = 6
y log 2 6 = 6
6 y log 2 = 6
y log 2 = 1
y1 = 2
y = 2
maka x + y = 3 + 2 = 5
Jawabannya adalah D
25. Berat rata-rata 10 siswa adalah 60 kg. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga
berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang diganti
adalah….
A. 57 C. 55 E. 53
B. 56 D. 54
Jawab:
misal :
x = berat Andi
y = berat orang yang diganti
www.belajar-matematika.com 17
ΣS = jumlah berat 9 orang
Berat awal :
10
y +ΣS
= 60
Berat setelah diganti Andi :
10
x +ΣS
= 60,5
10
62 +ΣS
= 60,5
62 + ΣS = 60.5 . 10
ΣS = 605 – 62
= 543
10
y +ΣS
= 60
y + ΣS = 600
y = 600 - ΣS
= 600 – 543
= 57
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com