Soal dan Pembahasan bidang matematika

1. Diketahui a dan b adalah dua buah bilangan bulat positif yang memenuhi :
36
1 1 13 + =
a b
Nilai ab (a+b) adalah …..
A. 468 C. 368 E. 36
B. 448 D. 49
Jawab:
36
1 1 13 + =
a b
⇔
36
13 =
+
ab
b a
a+b = 13
ab = 36
maka nilai ab (a+b) = 36 . (13) = 468
Jawabannya adalah A
2. Diketahui x < -3. Bentuk yang setara dengan | 1 - | 1 + 3x | | adalah ….
A. -2 - 3 x C. -2 + 3x E. 2 – 3x
B. 3x D. -3x
Jawab:
| 1 - | 1 + 3x | | = | 1 –(-1 - 3x)|
= | 2 + 3x |
= -2 – 3x
Jawabannya adalah A
3. Suku banyak yang akarnya 2 - 5 adalah ……
A. 14 9 x4 + x2 + C. 14 9 x4 − x2 − E. 14 89 x4 − x2 −
B. 14 9 x4 − x2 + D. 14 89 x4 + x2 +
www.belajar-matematika.com 2
Jawab:
akar suku banyak = 2 - 5 dianggap salah satu akar suku banyak
x1 = 2 - 5
x 2 = 2 + 5 dianggap akar yang lain
x1
2 = ( 2 - 5 ) 2 = 2 -2 10 + 5 = 7 - 40
x 2
2 = ( 2 + 5 ) 2 = 2 + 2 10 + 5 = 7 + 40
Rumus Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x 2 adalah:
x2 – (x1 + x 2 )x + x1 x 2 = 0
dengan akar-akar x1
2 dan x 2
2 menjadi suku banyak:
(x2) 2 – (x1
2 + x 2
2 ) x2 + x1
2 . x 2
2 = 0
x1
2 + x 2
2 = 7 - 40 + 7 + 40
= 14
x1
2 . x 2
2 = (7 - 40 ). (7 + 40 )
= 49 – 40 = 9
menjadi :
(x2) 2 – (14) x2 + 9 = 0
⇔x 4 - 14x2 + 9 = 0
Jawabannya adalah B
4. Diketahui a , b dan c vector dalam dimensi 3. Jika a ⊥ b dan a ⊥ (b + 2 c ), maka
a (2b - c ) = ….
A. 4 C. 1 E. -1
B. 2 D. 0
Jawab:
a ⊥ b a . b = 0
a ⊥ (b + 2c ) a . (b + 2 c ) = 0
a . b + a . 2c = 0
a . 2c = 0
2 a . c = 0
a . c = 0
www.belajar-matematika.com 3
a (2b - c ) = 2 a . b - a . c
= 2 . 0 – 0 = 0
Jawabannya adalah D
5. Jumlah 50 suku pertama log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + … adalah ….
A. log (551150 ) C. log (25 25 111225 ) E. 1150 log (5)
B. log (5 25 111225 ) D. log (2751150 )
Jawab:
log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + …= log 5 + log 5. 11 + log 5 . 11 2 + log 5 . 113 +…
merupakan deret aritmetika karena mempunyai beda(b)
= log 5 .11 – log 5 = log 5 . 11 2 - log 5. 11
= log
5
5.11
= log
5.11
5.112
= log 11 = log 11
a = log 5
Sn =
2
n
(2a +(n-1) b)
S50 =
2
50
(2. log5 +(50-1) log . 11)
= 25 (2 log 5 + 49 log 11)
= 50 log 5 + 1225 log 11
= log 5 50 + log 111225
= log (5 2 ) 25 + + log 111225
= log (25 25 111225 )
Jawabannya adalah C
6. Diketahui barisan dengan suku pertama U1 = 15 dan memenuhi Un - U n−1 = 2n + 3,
n ≥ 2. Nilai U50 + U2 adalah…..
A. 2688 C. 2732 E. 2762
B. 2710 D. 2755
www.belajar-matematika.com 4
Jawab:
Cara 1:
Cari urutan baris :
Sudah diketahui U1 = 15 dan U2 = 22
n = 3 U3 - U2 = 2 . 3 + 3 = 9
U3 = 9 + 22
= 31
n = 4 U4 - U3 = 2 . 4 + 3 = 11
U4 = 11 + 31
= 42
barisannya : 15 , 22 , 31, 42, … bukan barisan aritmetika dan geometri
cari rumus umum barisan:
U1 = 10+ 5 = 10 + 1 + 4 10 + n 2 + 4n
U2 = 10 + 12 = 10 + 4 + 8 10 + n 2 + 4n
U3 = 10+21 = 10 + 9 + 12 10 + n 2 + 4n
U4 = 10+32 = 10 + 16 + 16 10 + n 2 + 4n
Rumus umum barisan = 10 + n 2 + 4n
U50 + U2 = 10 + 50 2 + 4 . 50 + 22 = 232 + 2500 = 2732
Cara 2:
setelah didapat U3 dan U4 dibuat barisan sbb:
U1 , U2 , U3 , U4 , . . ., U50
15, 22 , 31, 42, . . . , U50
7 9 11 membentuk barisan baru aritmetika dengan a = 7 dan b = 2
posisi U50 adalah posisi S49 barisan baru aritmetika
S n =
2
n
(2a +(n-1) b)
S49 =
2
49
(2.7 +48. 2) =
2
49
(110) = 49 . 55 = 2695
www.belajar-matematika.com 5
U50 = S49 + nilai awal barisan lama (U1 )
= 2695 + 15 = 2710
U50 + U2 = 2710 + 22 = 2732
Jawabannya adalah C
7. Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P pada BC dengan |PC| = t dm. Titik Q
adalah proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Luas segitiga
AQR adalah…dm2
A.
2 1
1
t 2 +
C. 2 1 t 2 + E. 1 + t 2
B.
1
1
t 2 +
D.
2
1 t 2 −
Jawab:
H R 1 dm G
E F P'
D Q t C
P
A B
ditanya luas AQR ?
Luas AQR =
2
1
AQ . QR QR = 1 dm, AQ = ?
Cari AQ:
DP = 2 2 CD + PC = 2 1+ t
L ADP = L .ABCD - L CDP - L BAP
2
1
DP . AQ = AB.AD -
2
1
PC . CD -
2
1
.BP. AB
2
1 2 1+ t . AQ = 1 . 1 -
2
1
. t. 1 -
2
1
(1-t).1
www.belajar-matematika.com 6
2
1 1+ t 2 . AQ = 1 -
2
1
. t -
2
1
+
2
1
. t
=
2
1
2 1+ t . AQ = 1
AQ =
2 1
1
+ t
L AQR =
2
1
AQ. QR
=
2
1
.
2 1
1
+ t
.1
=
2 2 1
1
+ t
Jawabannya adalah A
8. Manakah pernyataan berikut yang benar ?
A. Jika sin x = sin y, maka x = y
B. Jika cos x = cos y, maka x = y
C. log x 2 = 2 log x, untuk semua x = 0
D. Jika log x = log y, maka x = y
E. 2 x = x semua x
Jawab:
Pernyataan:
A. sin x = sin y ; sin 30 0 = sin (180 0 - 30 0 )
sin 30 0 = sin 150 0 x = 30 0 ; y = 150 0 x ≠ y
pernyataan salah
B. cos x = cos y ; cos 30 0 = cos (360 0 - 30 0 )
cos 30 0 = cos 330 0 x = 30 0 ; y = 330 0 x ≠ y
pernyataan salah
C. log x 2 = 2 log x ; syarat log x ; x ≠ 0
pernyataan salah
D. log x = log y ; log x = log y x = y
pernyataan benar
www.belajar-matematika.com 7
E. 2 x = x, untuk x < 0 tidak berlaku
contoh : (−2) 2 = 4 = 2
- 2 ≠ 2 pernyataan salah
Jawaban yang benar adalah D
9. Nilai
x
x
x sin 2
4
0
lim
→
= ….
A. 2 C.
2
1
E. 0
B. 1 D.
4
1
Jawab:
Cara 1:
x
x
x sin 2
4
0
lim
→
=
x
x
x
x
x sin 2
4
0
lim
→
=
2
4
= 2
Cara 2:
rumus:
x →0
Lim
bx
sin ax
=
x →0
Lim
bx
ax
sin
=
x →0
Lim
bx
ax
sin
sin
=
b
a
x
x
x sin 2
4
0
lim
→
=
x
x
x sin 2
4
0
lim
→
=
2
4
0
lim
x →
= 2
Jawabannya adalah A
10. Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi
kurva y = 2
3
1
x dan y = 5 adalah ….
A. 5
3
16
C. 6 5 E. 5
3
20
B. 5
3
17
D. 5
3
19
www.belajar-matematika.com 8
Jawab:
L = 2.xy y = 5 - 2
3
1
x
= 2 .x (5 - 2
3
1
x )
= 10x - 3
3
2
x
Luas daerah persegi panjang terbesar atau maksimum apabila L ' = 0
L = 10x - 3
3
2
x
L ' = 10 – 2x 2 = 0
10 = 2x 2
x 2 = 5
x = ± 5 yang berlaku adalah + 5
masukkan ke dalam persamaan :
L = 10x - 3
3
2
x = 10 5 - 5 5
3
2
= 10 5 - 5
3
10
= 5
3
30
- 5
3
10
= 5
3
20
Jawabannya adalah E
www.belajar-matematika.com 9
11. A B
Perhatikan gambar persegi ABCD dengan panjang sisi 10 cm.
Lingkaran melalui titik A dan D dan menyinggung sisi BC. Luas
lingkaran tersebut adalah ….cm2
D C
A. 10π C. π
16
625
E. π
2
85
B. 20π D. π
8
325
Jawab:
A B
E G F
D C
Lingkaran melalui titik A dan D dan menyinggung sisi BC terlihat pada gambar.
Luas lingkaran = π r 2
Berarti cari r terlebih dahulu.
r = DG = GF
DE2 = DG2 - EG2
= r 2 - (10 - r) 2
= r 2 - (100 – 20r + r 2 )
= 20r – 100
AD = AB = 10 cm
DE =
2
1
AD = 5 cm
DE2 = 20r – 100
25 = 20r – 100
20r = 100 + 25
r =
20
125
=
4
25
www.belajar-matematika.com 10
Luas lingkaran = π r 2 = π . (
4
25
) 2
= π .
16
625
Jawabannya adalah C
12. Jika nilai maksimum f(x)= x + 2 p − 3x adalah
4
5
, maka nilai p adalah….
A. 1 C.
4
3
E. 2
B.
3
2
D.
2
3
Jawab:
Nilai maksimum jika f ' (x)= 0
f(x) = x + 2 p − 3x = x + (2p-3x) 2
1
f ' (x)= 1 +
2
1
(2p-3x) − 2
1
. -3
= 1 -
2 2 p 3x
3
−
= 0
1 =
2 2 p 3x
3
−
dikuadratkan
1 =
4(2 3 )
9
p − x
2p – 3x =
4
9
3x = 2p -
4
9
x = p
3
2
-
4
3
mempunyai nilai maksimum dengan x = p
3
2
-
4
3
masukkan ke dalam f(x)
f( p
3
2
-
4
3
)= p
3
2
-
4
3
+ )
4
3
3
2
2 p − 3( p −
www.belajar-matematika.com 11
= p
3
2
-
4
3
+ )
4
9
2 p − 2 p +
= p
3
2
-
4
3
+
4
9
= p
3
2
-
4
3
+
2
3
=
4
5
p
3
2
=
4
5
+
4
3
-
4
6
p
3
2
=
4
2
p =
2.4
3.2
=
4
3
Jawabannya adalah C
13. Diketahui selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 30cm. Jika panjang dan
lebarnya dipotong dengan ukuran yang sama sehingga luas seng menjadi 275 cm2 ,
maka panjang dan lebarnya harus dipotong….cm
A. 30 C. 20 E. 10
B. 25 D. 15
Jawab:
80 cm
t
80 - t
30 - t 30 cm
t
misal t = potongan panjang dan lebar dengan ukuran yang sama
panjang setelah dipotong = 80 – t
lebar setelah dipotong = 30 – t
Luas setelah dipotong = (80 – t) (30 – t) = 275
⇔ 2400 – 80 t – 30 t + t 2 = 275
⇔ t 2 - 110t + 2400 – 275 = 0
⇔ t 2 - 110t + 2125 = 0
⇔(t - 85)(t - 25) = 0
t = 85 atau t = 25
www.belajar-matematika.com 12
t= 85 tidak mungkin karena > panjang dan lebar
t = 25 adalah jawaban yang tepat karena < panjang dan lebar
Jawabannya adalah B
14. Sejumlah siswa terdiri atas 5 putra dan 5 putri membentuk panitia yang terdiri atas 4
orang siswa. Peluang panitia tersebut memuat paling banyak 2 siswa putri adalah…
A.
21
16
C.
42
23
E.
42
35
B.
37
11
D.
42
31
Jawab:
p(A) =
( )
( )
n S
n A
Dari 5 putra dan 5 putri akan dipilih 4 orang siswa dengan memuat paling banyak 2
siswa putri, sehingga bisa dibentuk dengan 3 susunan sbb:
1. 3 putra dan 1 putri
2. 2 putra dan 2 putri
3. 4 putra dan 0 putri
Susunan 1 : 3 putra dan 1 putri
Banyaknya cara memilih 3 putra dari 5 putra
C5
3 =
3!(5 3)!
5!
−
=
3.2.2!
5.4.3.2!
=
2
20
= 10
Banyaknya cara memilih 1 putri dari 5 putri
C5
1 =
1!(5 1)!
5!
−
=
4!
5.4!
= 5
Sehingga banyaknya susunan 3 putra dan 1 putri = 10 x 5 = 50
Susunan 2 : 2 putra dan 2 putri
Banyaknya cara memilih 2 putra dari 5 putra
www.belajar-matematika.com 13
C5
2 =
2!(5 2)!
5!
−
=
2.3!
5.4.3!
=
2
20
= 10
Banyaknya cara memilih 2 putri dari 5 putri
C5
2 =
2!(5 2)!
5!
−
=
2.3!
5.4.3!
=
2
20
= 10
Sehingga banyaknya susunan 2 putra dan 2 putri = 10 x 10 = 100
Susunan 3 : 4 putra dan 0 putri
Banyaknya cara memilih 4 putra dari 5 putra
C5
4 =
4!(5 4)!
5!
−
=
4!
5.4!
= 5
Banyaknya cara memilih 0 putri dari 5 putri
C5
0 =
5!
5!
= 1
Sehingga banyaknya susunan 4 putra dan 0 putri = 5 x 1 = 5
Banyaknya susunan panitia paling banyak terdiri dari 2 putri:
50 + 100 +5 = 155 n(A)
n(S) jumlah susunan 4 panitia dari 10 calon (5 putra dan 5 putri)
C10
4 =
4!(10 4)!
10!
−
=
4.3.2.6!
10.9.8.7.6!
=
24
10.9.8.7
= 10 .3 . 7 = 210
Sehingga peluang panitia memuat paling banyak 2 siswa putri :
p(A) =
( )
( )
n S
n A
=
210
155
=
42
31
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com 14
15. Integral yang menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x , x + y – 6 = 0
dan sumbu x adalah…..
A. ∫ + ∫ −
6
0
9
6
xdx (x 6)dx D. ∫ − ∫ −
4
0
6
4
xdx (x 6)dx
B. ∫ − ∫ −
4
0
9
4
xdx (x 6)dx E. ∫ + ∫ −
4
0
6
4
xdx (x 6)dx
C. ∫ + ∫ −
4
0
9
4
xdx (x 6)dx
Jawab:
Daerah I adalah kurva y = x dengan batas atas 4 dan batas bawah 0
Luas I = ∫
4
0
x.dx
Daerah II adalah garis y = 6-x dengan batas atas 6 dan batas bawah 4
Luas II = (6 x)dx
6
4
∫ −
Luas keseluruhan = Luas I + Luas II
= ∫
4
0
x.dx + (6 x)dx
6
4
∫ −
= ∫
4
0
x.dx - (x 6)dx
6
4
∫ −
Jawabannya adalah D