Soal dan pembahasan grafik fungsi

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika

1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) g(x) = x 2 - 3x untuk setiap bilangan real x.
Jika g(1)=2, f ' (1)= f(1), dan g' (1) = f(1), maka g ' (1) = …
A. 2 C. 0 E. -3
B. 1 D. -1
Jawab:
f(x) g(x) = x 2 - 3x
⇔ f(1) g(1) = 1 2 - 3.1 = -2 f(1) = g ' (1) ; g(1)=2
⇔ g ' (1) . 2 = -2
⇔ g ' (1) =
2
− 2
= - 1
Jawabannya aadalah D
2. Jumlah akar- akar persamaan |x| 2 - 2 |x| - 3 = 0 sama dengan…..
A. -10 C. -1 E. 4
B. -3 D. 0
Jawab:
untuk nilai mutlak berlaku:
|x|



− >
≥
; 0
; 0
jika x x
jika x x
sehingga |x| 2 - 2 |x| - 3 = 0 menjadi dua persamaan:
1. jika x ≥ 0 persamaannya menjadi : x 2 - 2x – 3 = 0
( x - 3) (x+1) = 0
x = 3 atau x = -1
2. Jika x > 0 persamaannya menjadi (-x) 2 - 2(-x) - 3 = 0
⇔ x 2 + 2x – 3 = 0
⇔(x+3)(x-1) = 0
x = -3 atau x = 1
www.belajar-matematika.com 2
Jumlah akar-akarnya : 3 -1- 3 + 1 = 0
Jawabannya adalah D
3. Luas daerah yang dibatasi oleh 2 sinx, x =
2
π
, x =
2
3π
dan sumbu x sama dengan…..
A. 1 satuan luas C. 3 satuan luas E. 5 satuan luas
B. 2 satuan luas D. 4 satuan luas
Jawab:
Luas = L I + L II
= ∫
π
π
2
2sin xdx + − ∫
2
3
( 2sin )
π
π
xdx = ∫
π
π
2
2sin xdx − ∫
2
3
2sin
π
π
xdx
= -2cos x
π
π
2
| + 2 cos x
2
3
|
π
π
= -2 (-1-0) + 2 (0-(-1))
= 2 + 2 = 4
Jawabannya adalah D
4. Diketahui x1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan x 2 + 5x + a dengan x1 dan x 2
kedua-duanya tidak sama dengan 0. Jika x1 , 2x 2 dan -3x1x 2 masing-masing
merupakan suku pertama, suku kedua dan suku ketiga dari deret geometri dengan
rasio positif, maka nilai a sama dengan….
A. -6 C. 6 E. 2 atau 3
B. 2 D. -6 dan 6
www.belajar-matematika.com 3
Jawab:
x 2 + 5x + a = 0
x1 + x 2 =
1
5 − = -5
x1 . x 2 =
1
a
= a
Deret geometri:
x1 , 2x 2 , -3x1x 2 , …
r =
1
2 2
x
x
=
2
1 2
2
3
x
− x x
x 2 = 2
1 4
3
− x
x1 + x 2 = -5 x1 + ( 2
1 4
3
− x ) = -5
⇔ 4x1 - 3 x1
2 = -20
⇔ 3 x1
2 - 4 x1 - 20 = 0
⇔(3 x1 - 10 )( x1 + 2) = 0
x1 =
3
10
atau x1 = -2
untuk x1 =
3
10
x1 + x 2 = -5 x 2 = -5 - x1
= -5 -
3
10
=
3
−15 −10
=
3
− 25
r =
1
2 2
x
x
=
+
−
= - hasil negatif maka tidak berlaku
untuk x1 = -2
x 2 = -5 - x1
= -5 – (-2) = -3
r =
1
2 2.
x
x
=
−
−
= + hasil positif maka berlaku
maka a = x1 . x 2 = (-2) . (-3) = 6
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 4
5. Jika f(2x+4)=x dan g(3-x)=x, maka nilai f(g(1)) + g(f(2)) sama dengan,,,,
A. 2 C. 4 E. 6
B. 3 D. 5
Jawab:
1). f(2x+4)=x
misal y = 2x+4
2x = y - 4
x =
2
y − 4
maka f(x) =
2
x − 4
…..(1)
2). g(3-x)=x
misal y = 3 – x
x = 3 – y maka g(x) = 3 – x …(2)
ditanya : f(g(1)) + g(f(2)) = …?
dari (1) didapat f(2) =
2
2 − 4
= -1
dari (2) didapat g(1) = 3 – 1 = 2
f(g(1)) = f(2) =
2
2 − 4
= -1
g(f(2)) = g(-1) = 3 – (-1) = 4
maka f(g(1)) + g(f(2)) = - 1 + 4 = 3
Jawabannya adalah B
6. Jika x = a, y = b dan z = c adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear :
x + y = 3
x + z = 4
y + z = 5
maka nilai a 2 + b 2 + c 2 sama dengan …..
A. 6 C. 11 E. 19
B. 9 D. 14
www.belajar-matematika.com 5
Jawab:
x + y = 3 …(1)
x + z = 4 …(2)
y + z = 5 .. .(3)
substitusi (1) dan (2)
x + y = 3
x + z = 4 -
y – z = -1 …(4)
substitusi (3) dan (4)
y + z = 5
y – z = -1 -
2z = 6
z = 3 = c
mencari y :
y + z = 5
y = 5 – z
y = 5 – 3 = 2 = b
mencari x :
x + y = 3
x = 3 – y
x = 3 – 2 = 1 = a
a 2 + b 2 + c 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1 + 4 + 9 = 14
Jawabannya adalah D
7. Untuk 0 ≤ x ≤ 12 maka nilai x yang memenuhi persamaan cos
6
πx
≥
2
1
adalah….
A. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9
B. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12
C. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10
D. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11
E. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12
Jawab:
cos
6
πx
≥
2
1
( cos
3
π
=
2
1
) untuk 0 ≤ x ≤ 12
cos
6
πx
≥ cos
3
π
www.belajar-matematika.com 6
⇔ cos
6
πx
= cos
3
π
. cos x = cos α , maka 1,2 x = ± α + k. 0 360
atau cos x = cos π , maka 1,2 x = ± π + k.2π
untuk x1 :
6
πx
=
3
π
+ k.2π dibagi dengan π
6
x
=
3
1
+ k.2
untuk k = 0
6
x
=
3
1
6
x
=
6
2
x = 2
k = 1
6
x
=
3
1
+ .2
6
x
=
3
7
6
x
=
6
14
x = 14 tidak berlaku karena di luar range nilai 0 ≤ x ≤ 12
untuk x 2 :
6
πx
= -
3
π
+ k.2π dibagi dengan π
6
x
= -
3
1
+ k.2
untuk k = 0 hasil x di luar range nilai
|
untuk k = 1
6
x
= -
3
1
+ 2
6
x
= -
6
2
+
6
12
6
x
=
6
10
x = 0
buat garis bilangan : ( masukkan nilai cos
6
πx
≥
2
1
)
++++ -- - - - - - - - - - - - - - - + + +
• • • • • • • • • • • • •
0 2 10 12
www.belajar-matematika.com 7
Nilai x yang memenuhi :
0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12
Jawabannya adalah E
* kalau ingin cepat bisa langsung dengan membuat garis bilangan dengan
memasukkan nilai dari x = 0 sampai x = 12 pada cos
6
πx
≥
2
1
8. Suatu limas beraturan T.PQRS dengan TP= TQ= TR=TS= 21 cm dan PQRS adalah
suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm. Besar sudut antar bidang TQR dan bidang
alas sama dengan….
A. 30 0 C. 60 0 E. 900
B. 45 0 D. 75 0
Jawab:
T
21
S R
α
O 3 A
P 6 Q
perhatikan TAO :
cos α =
TA
OA
OA =
2
1
PQ = 3
TA = 2 2 TR − AR TR = 21 ; AR =
2
1
QR = 3
TA = 2 2 ( 21) − 3
= 21− 9 = 12 = 2 3
cos α =
2 3
3
=
2
3
3
1
3 = 3
2
1
α = 30 0
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com 8
9. Jika cos a =
3
1
untuk
2
3π
< a < 2π , dan sin b =
3
2
untuk
2
π
< b < π , maka
a b
a b
tan tan
sin( )
+
+
sama dengan…..
A. 7
9
1 − C. 3
4
1 − E. 2
6
1
B. 7
9
1
D. 3
4
1
Jawab:
cos a =
3
1
untuk
2
3π
< a < 2π , berada di kuadran IV maka cos a bernilai positif =
3
1
sin b =
3
2
untuk
2
π
< b < π , berada di kuadran II maka sin b bernilai positif dan
cos b bernilai negatif
sin b =
3
2
=
r
y
=
panjang miring
panjang vertikal
_
_
cos b =
r
x
=
panjang miring
panjang datar
_
_
x = 2 2 3 − ( 2) = 9 − 2 = 7
cos b =
3
7
karena berada di kuadaran II maka nilainya negatif:
cos b = -
3
7
3
2
x
a b
a b
tan tan
sin( )
+
+
=
b
b
a
a
a b a b
cos
sin
cos
sin
sin cos cos cos
+
+
=
a b
a b a b
a b a b
cos cos
sin cos cos sin
sin cos cos sin
+
+
= (sin a cos b+ cos a sin b) .
a b b
a b
sin cos cos sin
cos cos
+
= cos a cos b
=
3
1
. -
3
7
= -
9
7
= - 7
9
1
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com 9
10. Diketahui segitiga ABC, dengan AB= 1 cm, BC = 2 cm dan AC = k cm. Jika α adalah
sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cos α <
8
7
adalah….
A. 2
2
3 < < k C. 1
2
1 < k < E.
2
3
0 < k <
B. 2
2
3 < k < atau k < 0 D. 1
2
1 < k < atau k < 0
Jawab:
B
1 cm 2 cm
α
A C
k cm
Gunakan aturan cosinus:
AB2 = AC2 + BC2 - 2 AC . BC cos α
1 2 = k 2 + 2 2 - 2 . k . 2 . cos α
4 k cos α = k 2 + 4 – 1
cos α =
k
k
4
3 2 +
cos α <
8
7
maka
k
k
4
3 2 +
<
8
7
k
k 3 2 +
<
2
7
k
k 3 2 +
-
2
7
< 0
k
k k
2
2 6 7 2 + −
< 0
k
k k
2
(2 − 3)( − 2)
< 0
nilai uji coba k =
2
3
; k = 2 dan k = 0
www.belajar-matematika.com 10
buat garis bilangan:
- - - - ++++ ++++++++ - - - + + +
• • • • • • • • • • • • •
0 3/2 2
hasilnya adalah k < 0 atau
2
3
< k < 2
nilai k harus > 0 maka nilai yang benar adalah
2
3
< k < 2
Jawabannya adalah A
11. Diketahui matriks A =  


 

0 −1
2 1
dan I =  


 

0 1
1 0
. Bilangan λ yang maemenuhi
| A -λ I | = 0 adalah …..
A. -1 atau 0 C. -1 atau 2 E. -1 atau 3
B. 1 atau 3 D. 2 atau 3
Jawab:
 

 

−  


 

− 0 1
1 0
.
0 1
2 1
λ = 0
 

 

−  


 

− λ
λ
0
0
.
0 1
2 1
= 0
.
0 1
2 1
 

 

− −
−
λ
λ
= 0
ad – bc = 0 determinan
(2 - λ ) (-1-λ ) - 0 = 0
λ = 2 atau λ = - 1
Jawabannya adalah C
12. Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat mx 2 - (3m+1)x + (2m+2) = 0
mempunyai akar-akar dengan perbandingan 3:4 adalah….
A.
6
7
C.
3
11
E.
6
5
B.
5
13
D.
2
3
www.belajar-matematika.com 11
Jawab:
x1 : x 2 = 3 : 4 x1 =
4
3
x 2
x1 + x 2 =
a
b − =
m
3m +1

4
3
x 2 + x 2 =
m
3m +1
4
7
x 2 =
m
3m +1
x 2 =
7
4
m
3m +1
x1 . x 2 =
a
c
=
m
2m + 2

4
3
x 2
2 =
m
2m + 2
4
3
x 2
2 =
m
2m + 2
4
3
2
7
4



 2
3 1



 +
m
m
=
m
2m + 2
4
3




49
16
2
2 (3 1)
m
m +
=
m
2m + 2
49
12
(3m+1) 2 = m (2m+2)
12 ( 9m2 + 6m + 1) = 49 ( 2m2 + 2m)
108m2 + 72m + 12 = 98 m2 + 98m
(108 – 98)m2 + (72 – 98) m + 12 = 0
10m2 - 26 m + 12 = 0 dibagi 2
5m2 - 13 m + 6 = 0
m1 + m2 =
a
b − =
5
13
Jawabannya adalah B
13. Nilai m+n yang mengakibatkan x 4 - 6ax 3 + 8a 2 x 2 - ma3 x +na 4 habis dibagi (x-a) 2
adalah….
A. 2 C. 0 E. -2
B. 1 D. -1
www.belajar-matematika.com 12
Jawab:
Gunakan metoda Horner:
* (x-a) 2 = (x-a) (x-a)
* habis dibagi berarti sisanya adalah 0
x =a 1 -6a 8a 2 - ma3 na 4
a -5a 2 3a3 (3a 4 -m a 4 ) +
1 -5a 3a 2 (3 a3 -m a3 ) (3 a 4 -m a 4 +n a 4 ) = sisa = 0 …(1)
x =a 1 -5a 3a 2 (3 – m)a3
a -4a 2 -a3
1 -4a -a 2 (3 a3 -m a 3 - a 3 ) = sisa = 0 …(2)
dari (2) didapat:
3 a3 -m a3 - a 3 = 2 a3 - m a 3 = 0
2 a3 = m a3
m = 2
masukkan nilai m = 2 ke dalam (1)
3 a 4 - m a 4 +n a 4 = 0
3 a 4 - 2 a 4 +n a 4 = 0
a 4 + n a 4 = 0
- a 4 = n a 4
n = -1
maka m + n = 2 – 1 = 1
Jawabannya adalah B
14. Perhatikan kurva y = ax + bx 2 , a dan b konstan. Jika garis singgung kurva ini pada titik
(1,0) sejajar dengan garis 2x – y + 3 = 0, maka a + 3b sama dengan….
A. - 2 C. 4 E. 8
B. 2 D. 6
www.belajar-matematika.com 13
Jawab:
Kurva y = ax + bx 2 sejajar dengan garis 2x – y + 3 = 0
2x – y + 3 = 0 y = 2x + 3 didapat gradien = m = 2
karena sejajar maka gradien garis = gradien kurva
Gradien kurva = 2 =
dx
dy
= a + 2bx
di titik (1,0) 2 = a + 2b.1
2 = a + 2b ……(1)
kurva y = ax + bx 2 melalui titik (1,0) maka:
0 = a. 1 + b . 1 2
0 = a’ + b a = -b ….(2)
substitusi (1) dan (2)
2 = -b + 2b
2 = b
mencari a:
masukkan nilai b ke (1)
2 = a + 2b
2 = a + 4
a = -2
maka a + 3b = -2 + 3.2 = 4
Jawabannya adalah C
15. Jika a 2 dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 - (b 2 -1)x + b = 0. Himpunan
nilai-nilai a+b adalah….
A. {-3,0,1,2} C. {-1,0,2,3} E. {-2,-1,0,3}
B. {-2,0,1,3} D. {0,1,2,3}
Jawab:
karena a 2 dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat maka:
a 2 + b =
a
b − = b 2 -1
⇔ b 2 -b - a 2 - 1 = 0 …(1)
www.belajar-matematika.com 14
a 2 . b =
a
c
= b
a 2 . b = b
a 2 = 1

a = ± 1 …(2)
masukkan nilai a = ± 1 ke (1)
untuk a = 1 :
b 2 -b - a 2 - 1 = 0 b 2 - b - 2 = 0
(b + 1) (b – 2) = 0
b = -1 atau b = 2
untuk a = -1
b 2 -b - a 2 - 1 = 0 b 2 - b - 2 = 0
(b + 1) (b – 2) = 0
b = -1 atau b = 2
nilai-nilai a + b
untuk a = 1
1 + (-1) = 0 dan 1+ 2 = 3
untuk a = -1
-1 + (-1) = -2 dan -1 + 2 = 1
jadi himpunan nilai-nilai a + b = { -2, 0, 1 , 3 }
Jawabannya adalah B

sumber : www.belajar-matematika.com